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Incidencia del Enfoque Resolución de Problemas de George Pólya en el Desarrollo del
Pensamiento Variacional
Incidence of George Polya's Problem Solving Approach in the Variational Thinking’s
Development
La resolución de problemas ha sido parte fundamental en la enseñanza de las matemáticas,
permitiendo con ella satisfacer los requerimientos a la hora de enfrentar un suceso cotidiano. El
presente estudio tuvo como objetivo analizar la incidencia del enfoque de resolución de
problemas matemáticos de George Pólya en el desarrollo del pensamiento variacional, visto
como una de las problemáticas más recurrentes en la enseñanza de las matemáticas. La
aplicación de una metodología bajo el paradigma naturalista, método Investigacion-Acción,
enfoque cualitativo, tipo interpretativo que permitió describir esta dificultad en los estudiantes
del grado sexto de la institución educativa José Odel Lizarazo Villamaga, a partir de datos
específicos tomados del plan propuesto en el método Pólya. En este proceso se abordó el
fenómeno desde el diagnóstico y observación directa, la comprensión y concepción de
problemas mediante acciones de trabajo colaborativo y cooperativo, la implementación de
recursos y conceptos matemáticos para proponer opciones de resolución y llegar a un proceso
de verificación de los resultados. Una vez ejecutada la propuesta de Pólya se evidenció en los
informantes claves una evolución del pensamiento variacional, desde su etapa preoperacional,
donde se reconocieron las dificultades iniciales en la comprensión de las situaciones
matemáticas presentadas, las debilidades en el proceso de lectura y escritura matemática,
llevando a los estudiantes a profundizar en la indagación, la exploración de hipótesis y el
planteamiento de soluciones a las incógnitas identificadas.
Palabras clave: Resolución de Problemas, pensamiento variacional, enfoque de George
Pólya, competencias matemáticas.
¹Universidad de Pamplona
²Universidad de Pamplona
¹https://orcid.org/0009-0006-6074-7116
²https://orcid.org/0000-0003-3126-3658
¹Colombia
²Colombia
Galvis-Rivera, Y. & González-Bautista, E.
(2024). Incidencia del Enfoque Resolución
de Problemas de George Pólya en el
Desarrollo del Pensamiento Variacional.
Revista Tecnológica-Educativa Docentes
2.0, 17(1), 149-160.
https://doi.org/10.37843/rted.v17i1.447
Y. Galvis-Rivera y E. González-Bautista,
"Incidencia del Enfoque Resolución de
Problemas de George Pólya en el Desarrollo
del Pensamiento Variacional", RTED, vol.
17, n.° 1, pp. 149-160, may. 2024.
https://doi.org/10.37843/rted.v17i1.447
Yolima Galvis-Rivera¹ y Edgard Aurelio González-Bautista²
29/mayo/2024
Problem-solving has been a fundamental part of teaching mathematics, allowing it to satisfy
the requirements when facing an everyday event. The objective of this study was to analyze
the impact of George Pólya's approach to solving mathematical problems on the
development of variational thinking, seen as one of the most recurrent problems in
mathematics teaching. The application of a methodology under the naturalistic paradigm,
Action Research method, qualitative approach, and interpretive type that allowed us to
describe this difficulty in the sixth-grade students of the José Odel Lizarazo Villamaga
educational institution, based on specific data taken from the plan proposed in the Pólya
method. In this process, the phenomenon was approached from diagnosis and direct
observation, the understanding and conception of problems through collaborative and
cooperative work actions, and the implementation of mathematical resources and concepts
to propose resolution options and reach a process of verification of the results. Once Pólya's
proposal was executed, an evolution of variational thinking was evident in the key
informants from its preoperational stage, where the initial difficulties in understanding the
mathematical situations presented the weaknesses in the mathematical reading and writing
process were recognized. Leading students to delve deeper into the inquiry, explore
hypotheses, and propose solutions to the identified unknowns.
Keywords: Problem solving, variational thinking, George Pólya's approach, mathematical
skills.
4/septiembre/2023
8/enero/2024
desde 149-160
Galvis-Rivera, Y. & González-Bautista, E. (2024). Incidencia del Enfoque Resolución de Problemas de George Pólya en el Desarrollo del Pensamiento Variacional. Revista
Tecnológica-Educativa Docentes 2.0, 17(1), 149-160. https://doi.org/10.37843/rted.v17i1.447
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Incidencia del Enfoque Resolución de Problemas de
George Pólya en el Desarrollo del Pensamiento
Variacional.
150
Introducción
La resolución de problemas ha sido parte
fundamental en la enseñanza de las matemáticas,
permitiendo con ella satisfacer los requerimientos
a la hora de enfrentar un suceso cotidiano. El
pensamiento variacional se ha visto como una
acción anexa al estudio de las matemáticas,
haciendo su aparición en las etapas finales de cada
proceso y dejando la resolución de problemas
como la conclusión de la etapa preoperacional, sin
embargo este pensamiento permite satisfacer las
necesidades del individuo al momento de
comprender las diferentes situaciones cotidianas
que se presentan en situaciones problemas y no en
operaciones concretas; evento que se refleja en
resultados de evaluaciones externas como las
pruebas de estado Evaluar para Avanzar en los
estudiantes del grado sexto de la institución
educativa José Odel Lizarazo Villamaga del
municipio de Saravena - Arauca.
Para garantizar la viabilidad de esta, se
define en la propuesta el diseño de guías de
aprendizaje, el seguimiento a través de diarios de
campos y la observación in situ, para identificar las
debilidades en los procesos de enseñanza y
aprendizaje en el aula, entre ellas, debilidades en
la lectura de la situación y la comprensión de la
misma. Siendo esta una de las limitaciones más
evidentes en la investigación, junto a la
trascripción y escritura de términos y conceptos
matemáticos que alejan la identificación de la
incógnita a resolver.
La implementación del método Pólya
desde la etapa preoperacional del pensamiento
matemático reconoce la lectura en sus diferentes
niveles como fundamento en la apropiación de
habilidades a la hora de resolver problemas, y la
trascripción de dicha interpretación en
interrogantes a resolver; todo ello alrededor del
trabajo cooperativo y colaborativo desarrollando
una interacción entre los sujetos y a través de ello
la verificación de las opciones de respuesta.
Llevando a los estudiantes a profundizar en la
indagación, la exploración de hipótesis y el
planteamiento de soluciones a las incógnitas
identificadas.
En este sentido, el presente trabajo, analiza
la incidencia del enfoque de resolución de
problemas de George Pólya en el desarrollo del
pensamiento variacional partiendo de una
evaluación descriptiva del bajo desempeño en el
desarrollo del pensamiento numérico – variacional
como un indicador clave. El presente estudio tuvo
como objetivo analizar la incidencia del enfoque
de resolución de problemas matemáticos de
George Pólya en el desarrollo del pensamiento
variacional, visto como una de las problemáticas
más recurrentes en la enseñanza de las
matemáticas.
Metodología
Dando respuesta al planteamiento general
de la investigación, el presente estudio se focalizó
en la identificación de las dificultades de mayor
relevancia en la resolución de problemas y el
desarrollo del pensamiento variacional, aplicando
el método de George Pólya. Este método permitió
establecer su incidencia en la forma como se
aborda el desarrollo de este pensamiento en la edad
escolar, permitiendo describir el fenómeno in situ,
que como lo nombra Bejarano (2016), busca
comprender y profundizar la problemática en su
ambiente y con sus protagonistas.
La presente investigación se abordó desde
un enfoque cualitativo, que permitió recolectar
información a partir de diversos procesos que
involucran la apreciación del fenómeno y la visión
dada a este por la población focalizada para dicha
acción. Como lo menciona Bejarano (2016), con la
cualificación de la información se logró ahondar
en las dificultades generales y particulares de los
sujetos frente al desarrollo del pensamiento
variacional y la resolución de problemas
matemáticos.
Este proceso inductivo basado en la
observación directa del fenómeno determina y
describe nuevas perspectivas como fundamento
teórico y recurre a la investigación acción, que
según Hernández-Sampieri et al. (2014), “puede
ser usado como recurso para reflexionar en torno a
la ejecución de estrategias diseñadas e
implementadas” (p. 8), en los estudiantes
valorando la incidencia del método de George
Pólya en la práctica de aula.
Estas características hicieron que la
investigación no solamente abordara la
descripción de un fenómeno, sino que además de
ello, desde el paradigma naturalista, interpretara lo
que observaba y se logró abarcar intereses o
necesidades particulares y grupales frente al
Galvis-Rivera, Y. & González-Bautista, E. (2024). Incidencia del Enfoque Resolución de Problemas de George Pólya en el Desarrollo del Pensamiento Variacional. Revista
Tecnológica-Educativa Docentes 2.0, 17(1), 149-160. https://doi.org/10.37843/rted.v17i1.447
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Incidencia del Enfoque Resolución de Problemas de
George Pólya en el Desarrollo del Pensamiento
Variacional.
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fenómeno u objeto de investigación, como lo fue
la resolución de problemas matemáticos; de
acuerdo al propósito investigativo, se direccionó la
investigación en cuatro etapas fundamentales: un
diagnóstico, un diseño, una implementación y se
finaliza con la evaluación.
Para ello, se tomó como punto de partida
los resultados de las pruebas de Evaluar para
Avanzar 2022 del grado sexto de la institución,
teniendo en cuenta que este grado comprende el
ciclo 3 de formación escolar, donde se evidencia el
paso de la básica primaria a básica secundaria.
Las categorías de análisis para la presente
investigación fueron (ver Tabla 1): la competencia
matemática, teniendo como centro la resolución de
problemas desde el método de resolución de
problemas de George Pólya y el desarrollo del
pensamiento matemático, específicamente en el
estudio del pensamiento variacional desde las
razones de cambio y los patrones, de acuerdo con
los estándares básicos de aprendizaje en
matemáticas del Ministerio de Educación
Nacional (2006).
Tabla 1
Categorías de Análisis.
CATEGORÍ
A BASE
CATEGORÍ
A DE
ANÁLISIS
SUBCATEGORÍA
S DE ANÁLISIS
Competencia
Matemática
Resolución de
Problemas
Método de
Pólya
Comprender el
problema
Concebir un plan
Ejecución del plan
Examinar la solución
Pensamiento
Matemático
Pensamiento
Variacional
Razón de cambio
Patrones y funciones
Nota. Categorías de análisis según los Estándares básicos de
aprendizaje MEN-Colombia para la aplicación del método
Pólya, elaboración propia 2023.
Para este estudio se implementaron, cuatro
etapas que permitieron discriminar el fenómeno y
a su vez, se convirtieron en una herramienta para
generar mejoras en los aprendizajes, teniendo en
cuenta las características específicas del grupo de
estudiantes focalizados, como muestra la Figura 1,
previa a una revisión de resultados de pruebas
Saber.
Figura 1
Fases de la Investigación.
Nota. Fases de estudio para la implementación del método Pólya en el desarrollo del pensamiento variacional y la resolución
de problemas, elaboración propia (2023).
Fase 1. Identificación. Esta fase, permitió
identificar las principales oportunidades de
mejoramiento que se identifican en el proceso
durante el desarrollo del pensamiento variacional
visto desde el desarrollo de la competencia en la
resolución de problemas. Para ello, se tomó como
insumo los resultados obtenidos por los
estudiantes focalizados durante la implementación
de la prueba Evaluar para Avanzar en el primer
semestre del 2022, por el Instituto Colombiano
para la evaluación de la Calidad en la Educación
ICFES. Esta prueba brindó al docente un
panorama en el desarrollo de las competencias
Galvis-Rivera, Y. & González-Bautista, E. (2024). Incidencia del Enfoque Resolución de Problemas de George Pólya en el Desarrollo del Pensamiento Variacional. Revista
Tecnológica-Educativa Docentes 2.0, 17(1), 149-160. https://doi.org/10.37843/rted.v17i1.447
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Incidencia del Enfoque Resolución de Problemas de
George Pólya en el Desarrollo del Pensamiento
Variacional.
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básicas en matemáticas en el ciclo 3 de la
formación.
Fase 2. Diseño del Plan. Se trazó un plan
ajustado a las características de los informantes
claves, teniendo como marco el método de
resolución de problemas de George Pólya, desde
el diseño de una prueba diagnóstica la cual
permitió determinar cuáles aspectos son relevantes
para los informantes a la hora de resolver una
situación problema y qué mecanismos
implementan para la misma; otro instrumento
dentro del plan, fue el diseño guías de aprendizaje
basadas en los cuatro pasos de resolución de
problemas propuestos por Pólya: conocer el
problema, concebir un plan, ejecutar el plan y
verificar; Como lo propone Santos-Valencia et
al.(2018) en la aplicación de su caso específico que
describe la resolución del problema mediante un
trabajo ordenado y reflexivo para lograr el objetivo
definido y que permite una comprensión más
asertiva del enunciado del problema. Para
finalizar se buscó establecer desde una prueba
final, cómo el informante clave se apropió del
método de acuerdo con el desarrollo del
pensamiento variacional (ver Tabla 2).
Tabla 2
Diseño de la Propuesta.
ETAPA
OBJETIVO
ESTRATEGIA
RESULTADOS ESPERADOS
Prueba
Diagnóstica
Reconocer
como dan
solución los
estudiantes a
una situación
problema.
Implementación de una prueba diagnóstica con
dos situaciones problemas aditivas.
Se buscó establecer los
mecanismos y/o estrategias que
usan los estudiantes en la
resolución de problemas.
Implementación
Del Método De
George Pólya
Familiarizar a
los
estudiantes
con el método
de resolución
de problemas
de George
Pólya.
Momento 1. Comprender el Plan.
Mediante la orientación y trabajo en grupos de
aprendizaje, se abordó la identificación de los
datos importantes y las nuevas heurísticas que
puedan surgir. Implementando trabajo en grupos
de aprendizaje con socialización en cartelera y
desarrollo de guía de aprendizaje.
Se logró identificar en el
planteamiento de una situación
problema, la información
suministrada, reconociendo el
interrogante y diseñando otros
que permitieron percibir la
situación propuesta.
Momento 2 Concebir un Plan.
Mediante acompañamiento y trabajo
colaborativo y cooperativo, se buscó que el
estudiante una vez identificado los datos
importantes y los interrogantes, pudiera
implementar recursos matemáticos que le
permitieron dar solución al interrogante.
Desarrollando actividad grupal con socialización
en cartelera y desarrollo de guía de aprendizaje.
Se diseñó una propuesta que
permitió dar respuesta al
planteamiento propuesto.
Momento 3 Ejecutar el Plan.
Con un acompañamiento y trabajo colaborativo,
se buscó que el estudiante una vez identificado la
estrategia a implementar desde sus fortalezas
conceptuales en matemáticas, el estudiante
implementó los recursos matemáticos que le
permitieron dar solución al interrogante. Esto
mediante el trabajo grupal y la socialización con
los demás grupos y el desarrollo de guía de
aprendizaje con este momento.
El estudiante una vez reconoció
la información suministrada en
el planteamiento, revisó sus
habilidades matemáticas y
diseñó un plan para ejecutarlo e
intentar dar solución al
planteamiento.
Momento 4 Verificación.
Para este momento los estudiantes una vez
ejecuten el plan propuesto, revisaron la estrategia
implementada, desde la validación de la
información, los algoritmos implementados y las
conclusiones planteadas. Esto, se desarrolló
mediante trabajo colaborativo, individual y con
socialización de la estrategia más apropiada o
práctica.
Se logró identificar patrones de
soluciones que se
implementaron en otras
situaciones problemas siendo
formuladas o planteadas de
manera similar.
Galvis-Rivera, Y. & González-Bautista, E. (2024). Incidencia del Enfoque Resolución de Problemas de George Pólya en el Desarrollo del Pensamiento Variacional. Revista
Tecnológica-Educativa Docentes 2.0, 17(1), 149-160. https://doi.org/10.37843/rted.v17i1.447
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Incidencia del Enfoque Resolución de Problemas de
George Pólya en el Desarrollo del Pensamiento
Variacional.
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Prueba Final
Validar la
apropiación
del método de
resolución de
problemas de
George Pólya
en la
resolución de
problemas.
Se implementó una prueba individual de 4 ítems,
la cual les permitió a los estudiantes usar el
método de George Pólya.
Se evidenció apropiación del
método de resolución de
problemas de George Pólya en
los estudiantes del grado sexto.
Nota. Diseño de la propuesta d implementación del método Pólya en el desarrollo del pensamiento variacional y la resolución
de problemas en los estudiantes de grado sexto de la I.E. José Odel Lizarazo-Villamaga, elaboración propia (2023).
Fase 3. Implementación del Plan. En
tercer lugar, y siendo este no menos importante, se
implementó el plan, que consistió en el trabajo de
aula, para ello y basado en el método de acción-
participación de Hernández-Sampieri et al. (2014),
el docente acompañante, hizo seguimiento a cada
una de las etapas anteriores, los estudiantes
revisaron y desarrollaron guías de aprendizaje en
la cual se vivenció los momentos claves desde el
método de Pólya, conocer el problema, concebir
un plan, ejecutar el plan y verificar el plan,
desarrollando habilidades sociales, comprensión
lectora y dinamizando la práctica educativa que
para efectos de este estudio, fue la enseñanza de la
matemática.
Para ello, se desarrolló trabajo en grupos de
aprendizaje colaborativo, momento en el que cada
estudiante aportó al cumplimiento de la meta de
acuerdo a sus capacidades y habilidades y grupos
de trabajo cooperativo, buscando que los
estudiantes lograran explorar habilidades que les
permitió desenvolverse, de tal manera que el
ejercicio de la práctica de aula en matemática, fue
un espacio enriquecedor tanto en lo social, como
en lo competente al área en estudio y las
habilidades comunicativas, ya que desde sus
cualidades aportaron a la solución de la propuesta
asignada para el espacio educativo. Además, de
formar grupos de aprendizaje, se buscó que el
estudiante fuera participativo y lograra después de
un trabajo grupal construir sus propios criterios y
de forma inversa, donde socializó sus propios
planteamientos ante el grupo y pudo concretar en
el trabajo grupos aprendizajes significativos, dado
que la construcción del conocimiento es propia.
Fase 4. Evaluar. Por último, se planteó la
etapa donde se evidencian los resultados de la
propuesta diseñada, la cual luego de ejecutada
emitió una radiografía de su implementación. Es
por ello, que la evaluación del plan permitió
monitorear la estrategia de forma inmediata
teniendo como primer instrumento la observación
de clase, en la cual el docente de forma directa y
constante identificó los avances o las mejoras en la
ejecución de la propuesta, haciendo un registro en
el diario de campo; instrumento que permitió
evidenciar los progresos de los informantes
identificados previamente en el grupo focalizado,
antes, durante y después de la propuesta. La
evaluación, permitió tener un seguimiento más
cercano del proceso, brindó herramientas para
diseñar planes de mejora o fortalecer la propuesta
de acuerdo con los resultados obtenidos, además
de identificar la incidencia del método de Pólya
como estrategia para el desarrollo del pensamiento
variacional desde la resolución de problemas.
Resultados
De acuerdo a la implementación de la
propuesta, el análisis de la información y la
evaluación durante su estudio, este permite
alcanzar resultados claros en la ejecución de cada
fase y de acuerdo a las características tenidas en
cuenta en cuanto a las necesidades de los
informantes claves, que se tomaron de la población
objeto de estudio; dicha población se encuentra la
sede principal, donde acompañan 18 docentes de
los cuales 2 orientan el área de matemáticas y un
grupo de sexto grado con 40 estudiantes y de estos,
se toma como muestra 8 estudiantes de grado
sexto, como se relacionan a continuación (ver
Tabla 3).
Galvis-Rivera, Y. & González-Bautista, E. (2024). Incidencia del Enfoque Resolución de Problemas de George Pólya en el Desarrollo del Pensamiento Variacional. Revista
Tecnológica-Educativa Docentes 2.0, 17(1), 149-160. https://doi.org/10.37843/rted.v17i1.447
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Incidencia del Enfoque Resolución de Problemas de
George Pólya en el Desarrollo del Pensamiento
Variacional.
154
Tabla 3
Caracterización de Informantes.
Grupo
Informante
Edad
Código
601
01
15 años
INF01
601
02
12 años
INF02
601
03
14 años
INF03
601
04
12 años
INF04
601
05
11 años
INF05
601
06
15 años
INF06
601
07
14 años
INF07
601
08
11 años
INF08
Nota. Caracterización de estudiantes focalizados de grado sexto, sede principal, Institución educativa José Odel Lizarazo,
Villamaga según resultados de pruebas Evaluar para Avanzar, elaboración propia 2023.
Con esta incidencia del método de George
Pólya, se puede describir los resultados obtenidos
durante la implementación de la prueba
diagnóstica, propuesta para el desarrollo de dos
ítems con situaciones aditivas, descritas a
continuación así (ver Tabla 4):
Tabla 1
Resultados Informantes Prueba Diagnóstica.
INFORMANTE
PRUEBA DIAGNÓSTICA
La mamá de Sofía le pide que le haga el favor
de comprar una bolsa de jabón en polvo en el
supermercado y le entrega 50.000 pesos. Sofía
llega al supermercado, observa los precios de
algunos productos, un litro de aceite cuesta
8.000 pesos, un kilo de harina de trigo cuesta
3.000 pesos, una caja de cereal 15.000 pesos,
una bolsa de jabón en polvo en 12.000 pesos y
un cartón de huevos 15.000 pesos. ¿Cuánto le
devuelven si solo compra el jabón en polvo?
Andrés desea festejar el cumpleaños para
su mamá, cuenta con un ahorro de 50.000
pesos. Desea obsequiarle una loción que
cuesta 30.000 pesos y un postre por 12.000
pesos ¿Cuánto le queda a Andrés para
comprar las flores?
INF01
Reconoce los datos importantes en el
planteamiento, propone una buena estrategia de
solución (restar) pero, no reconoce el valor
posicional de una unidad de mil.
Reconoce la estrategia de solución (resta),
pero en ella no es claro la identificación del
minuendo y el sustraendo, puesto que
propone una sustracción de tres cifras en
simultánea.
INF02
Identifica los datos importantes para la solución
del planteamiento, y ejecuta la operación acorde
al planteamiento. Omite, la información
distractora en su solución.
El informante plantea como solución una
adición con los datos en los que el sujeto del
planteamiento requiere disminuir a la
cantidad inicial, sin embargo, el INF02,
plantea la adición de estos como la solución,
se puede observar que no es clara la
estrategia, pues no logra comprender el
problema.
INF03
Identifica los datos importantes en el
planteamiento, sin embargo, se observa que
presenta dificultades en el manejo de la
sustracción, puesto que, aunque la reconoce
como solución, no demuestra habilidades en el
desarrollo del algoritmo, por tanto, la solución
propuesta no es acorde al planteamiento.
Identifica los datos importantes, pero no
comprende el planteamiento, ya que, aunque
propone una buena estrategia de solución
(resta) se observa que no tiene dominio en la
implementación de la sustracción.
Galvis-Rivera, Y. & González-Bautista, E. (2024). Incidencia del Enfoque Resolución de Problemas de George Pólya en el Desarrollo del Pensamiento Variacional. Revista
Tecnológica-Educativa Docentes 2.0, 17(1), 149-160. https://doi.org/10.37843/rted.v17i1.447
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Incidencia del Enfoque Resolución de Problemas de
George Pólya en el Desarrollo del Pensamiento
Variacional.
155
INF04
Este informante, nos muestra buenas
habilidades en la solución de problemas, puesto
que logra identificar los datos importantes y es
clara la estrategia de solución (resta), dando una
solución que es acorde al planteamiento.
la solución de problemas es clara la estrategia
de solución, dando una solución que es
acorde a las necesidades del planteamiento.
INF05
Inicialmente, se observa que identifica los datos
importantes y la estrategia de solución (resta) la
ópera de forma correcta, sin embargo, en la
presentación de la respuesta, los resultados en
cuanto a cantidades numéricas no presentan
buena escritura, puesto que omite 0s (ceros), es
decir, escribe 50.00 por escribir 50.000 y escribe
38.00 por escribir 38.000.
Presenta dos propuestas de solución, sin
embargo, una la encierra entre paréntesis y es
tachada con tinta de lapicero, sin embargo, la
propuesta de solución es acorde a lo
solicitado, pero no es tenida en cuenta.
Mientras que, en la segunda propuesta, el
informante plantea una solución acorde a lo
propuesto, sin embargo, en el momento de
realizar la última operación, se identifica que
no es claro el dominio del algoritmo de la
sustracción. Además, podemos observar que,
en la respuesta propuesta, el informante
presenta nuevamente problemas en la
escritura de cantidades numéricas.
INF06
Se observa que identifica los datos importantes
en el planteamiento, su propuesta de solución es
acorde a la necesidad del planteamiento y su
propuesta de solución cumple con el
requerimiento del mismo.
Desarrolla la propuesta de solución en dos
momentos con los datos importantes y
acordes a la operación (resta), en el primer
momento, obtiene el resultado esperado, sin
embargo, para la implementación de la
segunda operación (resta) se observa que
presenta dificultades en el desarrollo del
algoritmo matemático al presentar el valor,
sin embargo, este no le impide presentar una
conclusión en la cual ofrece un resultado,
bien es escrito, acorde a la necesidad del
planteamiento.
INF07
En esta prueba, el informante tiene en cuenta los
datos importantes, plantea como solución una
resta, que es acorde al planteamiento, sin
embargo, en el momento de desarrollar esta
operación se evidencia que no se tiene dominio,
pues las cantidades aumentan, en lugar de
disminuir. Sin embargo, la conclusión propuesta
presenta datos que son acordes a la necesidad
del planteamiento.
Para el segundo ítem, se observa la misma
situación del ítem 1, tiene en cuenta los datos
importantes, identifica la estrategia, sin
embargo, no tiene habilidades en la solución
de estructuras aditivas.
Teniendo en cuenta este patrón, se puede
deducir, que el informante no posee
habilidades claras en la solución de
problemas matemáticos.
INF08
Este informante, presenta dos propuestas que no
son claras, en la primera, suma todos los datos
sin tener en cuenta la funcionalidad en el
planteamiento, luego en una segunda propuesta,
toma los datos claves del planteamiento de
forma abreviada, es decir, por escribir 50.000
escribe 50 y por escribir 12.000 escribe 12, y
realiza una sustracción de forma correcta, sin
embargo, en la conclusión nos presenta una
solución acorde a la necesidad del
planteamiento con los valores escritos de forma
correcta.
Para el segundo ítem, no es claro la intensión
de solución, aunque logra identificar y
proponer una estrategia, no la concluye de
forma óptima y por tanto su respuesta no es
acorde al planteamiento.
En este ítem, se puede observar que no se
tuvo en cuenta los datos importantes, no
reconoce el interrogante y no tiene claro el
problema.
Nota. Resultados Informantes Prueba Diagnóstica, mediante la aplicación de dos situaciones aditivas para la identificación
de necesidades en la resolución de problemas, elaboración propia (2023).
De aquí, se evidenció en los estudiantes la
dificultad en la comprensión de situaciones
problemas, puesto que, en la práctica, el ejercicio
de lectura fue agobiante para algunos informantes,
tomando tiempos más extensos y repetitivos en la
comprensión del planteamiento. Otro rasgo que se
logró identificar fue la dificultad para la
trascripción de información, en cuanto a la
Galvis-Rivera, Y. & González-Bautista, E. (2024). Incidencia del Enfoque Resolución de Problemas de George Pólya en el Desarrollo del Pensamiento Variacional. Revista
Tecnológica-Educativa Docentes 2.0, 17(1), 149-160. https://doi.org/10.37843/rted.v17i1.447
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Incidencia del Enfoque Resolución de Problemas de
George Pólya en el Desarrollo del Pensamiento
Variacional.
156
caligrafía y redacción, al expresar sus
conclusiones ante el planteamiento. Se observó,
por ejemplo, que pueden escribir un cero por un 6,
o el 4 por un 1.
Otro rasgo significativo en la
implementación de la prueba fue el manejo del
espacio y problemas en la identificación del valor
posicional un número. De esto, se dedujo, que
pueden ser efectos postcovid-19, si se tiene en
cuenta que, desde el grado cuarto de primaria, no
tuvieron acompañamiento presencial hasta el
grado sexto.
Por otra parte, en cuanto a los resultados de
la propuesta, se evidenció que el dinamizar e
incluir la resolución de problemas en la práctica de
aula de matemáticas, fue fundamental en el
desarrollo del pensamiento matemático y
pensamiento lógico, además que permitió
desarrollar habilidades de lecto-escritura, desde la
lectura y comprensión de situaciones hasta la
redacción en las conclusiones. Esto hizo que el
estudiante profundizara en la lectura, enriqueciera
su vocabulario con más información a la hora de
redactar el texto que planteó una situación
matemática y pudo desarrollar paulatinamente una
conciencia lectora acorde a su etapa de formación.
Además de esto, esta propuesta permitió
reconocer los siguientes aspectos en torno al
método de solución de problemas de George
Pólya: La competencia matemática en los
estudiantes de la educación básica, jugó un papel
importante puesto que esta permitió desarrollar
habilidades en la solución de situaciones
problemas haciendo parte fundamental en el
aprendizaje y representando la estrategia de
medición en las pruebas estandarizadas
nacionales, llámense Saber 3° a 11°, Evaluar para
Avanzar 2° a 11° del Instituto Colombiano para la
Evaluación de la educación ICFES, entre otras. Ser
competente en matemática, requiriendo del
desarrollo de habilidades y destrezas en el uso del
conocimiento matemático para dar solución a
problemas que se presentan en la vida cotidiana,
desde los ámbitos comunitarios, laborales y
escolares. De esta manera, desarrollar habilidades
en la resolución de problemas, juega un papel
fundamental en el desarrollo de la competencia
matemática. Dicho esta, se presentaron los
resultados obtenidos a partir de la implementación
del método de George Pólya en la solución de
problemas.
En cuanto a la resolución de problemas,
este es un propósito fundamental en la enseñanza
de las matemáticas; está claro que, para dar
solución a situaciones específicas e inspiradas en
contextos cercanos, requirió que el estudiante
indagara en sus conocimientos previos, vivencias
similares o la exploración de nuevas hipótesis para
dar respuesta a lo planteado en la situación. En este
proceso, el estudiante se enfrentó a un sinfín de
recursos propios del área, de tal modo que, de
acuerdo con el progreso en sus habilidades
matemáticas y a su desarrollo cognitivo,
considerando las estrategias y mecanismos que
permitieron dar solución al problema.
Como expresa García-Avella et al. (2017),
otra forma de concebir la resolución de problemas
es considerarla “como un proceso mediante el
cual, una persona que se enfrenta a un problema
trata de identificarlo, de delimitarlo, de explorar
posibilidades de resolverlo, de elegir las
estrategias adecuadas para lograrlo a partir de sus
desarrollos individuales, de llevarlas a la práctica
mediante la aplicación de métodos y técnicas
apropiados.” (p.48). Estas técnicas, reflejaron la
disposición del estudiante por encontrar la
respuesta ante el planteamiento, así como a
estructuras apropiadas durante su formación
escolar, que con el paso del tiempo se omiten.
Desde su libro, (Polya, 1989) da pie a
reflexionar en torno a las heurísticas, ¿Cuál es la
incógnita?, ¿Cuáles son los datos? ¿Cuál es la
condición? ¿Es la condición suficiente para
determinar la incógnita? ¿Es suficiente? ¿Es
redundante? ¿Contradictoria? Pues bien, tener
clara la información que suministra el enunciado y
entender cuál es la incógnita para solucionar, son
garantía de satisfacer el planteamiento. Además,
en el reconocimiento de los datos, la identificación
de la incógnita podemos crear nuevos
interrogantes que permitan darle una mirada más
sencilla al planteamiento.
En cuanto a esto, se observa que el INF05
dio muestra del reconocimiento de la información
suministrada en el planteamiento resaltando los
datos que consideró importantes para la solución
del planteamiento, e identificó con claridad el
valor desconocido para la situación propuesta. De
este informante clave, se observó que, para
reconocer los datos, lo hace a través de la pregunta,
la cual le permite profundizar en la información a
tener en cuenta en la comprensión de problema, sin
Galvis-Rivera, Y. & González-Bautista, E. (2024). Incidencia del Enfoque Resolución de Problemas de George Pólya en el Desarrollo del Pensamiento Variacional. Revista
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Incidencia del Enfoque Resolución de Problemas de
George Pólya en el Desarrollo del Pensamiento
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embargo, no se observa con reconoció la
información numérica que representa cada
interrogante.
Por otra parte, el INF04, destacó en el
enunciado la información importante en el
planteamiento. Si bien es cierto que usó la
pregunta como estrategia para identificar la
información, e intentó dar respuesta a esos
interrogantes, se observó que los procedimientos
precisos en cuanto al enunciado son coherentes
frente al uso de algoritmos aritméticos básicos
como la adición y la sustracción, reconociendo así,
todos los elementos suministrados en el
planteamiento tanto cualitativo como cuantitativo.
En este primer paso, es importante identificar que
cada problema tuvo una o más de una pregunta,
por tanto, se precisó tener claridad de lo que pide
el problema antes de proponer estrategias de
solución, reconocer la información tanto
cualitativa como cuantitativa y las condiciones
dadas para la solución a la incógnita planteada
conectando esta con una anteriormente vivenciada.
Por otra parte, en la segunda fase, se
concibió un plan, permitiendo determinar los
pasos a seguir luego de reconocer la información y
datos necesarios para su solución, y hacer las
preguntas como: ¿necesitas todos los datos para
resolver la situación? ¿Conozco un problema
similar? ¿Conozco el o los procedimientos
matemáticos que se requiere para dar solución?
Así mismo, el planteamiento pudo asemejarse con
otro, y ser afín con resultados.
Por su parte, (Pólya, 1989) plantea: Si no
puede resolver el problema propuesto, trate de
resolver primero algún problema similar. ¿Podría
imaginarse un problema análogo un tanto más
accesible? ¿Un tanto más particular? ¿Un
problema análogo? ¿Puede resolver una parte del
problema? Considere sólo una parte de la
condición; descarte la otra parte; ¿en qué medida
la incógnita queda ahora determinada? ¿En qué
forma puede variar? ¿Puede usted deducir algún
elemento útil de los datos? ¿Puede pensar en
algunos otros datos apropiados para determinar la
incógnita? ¿Puede cambiar la incógnita? ¿Puede
cambiar la incógnita o los datos, o ambos si es
necesario, de tal forma que la nueva incógnita y los
nuevos datos estén más cercanos entre sí? (p. 19).
En este sentido, el INF06 mostró en este
segundo momento, cómo desde un nuevo
planteamiento propuesto, pudo reescribir un
problema con la misma información, reconocer los
datos importantes en el enunciado genérico, usar
de forma coherente las herramientas matemáticas
que se requieren para su solución. Aquí, se
observó cómo el informante con ahincó reescribe
una situación problema con los mismos datos,
además, destacó información, que para el caso en
mención fue la cantidad de páginas que tenía un
libro; de esta manera, logró distribuir la cantidad
total de páginas de acuerdo con la condición
propuesta en el nuevo enunciado.
Discusiones
La resolución de problemas matemáticos de
George Pólya muestra una cercanía del estudiante
con la situación problema, permitiendo dar
solución al planteamiento propuesto mediante el
uso de estrategias de resolución. Esta incidencia
refleja que el ser recursivos y creativos en el uso
del conocimiento matemático para elaborar una
estrategia que permita encontrar el camino a la
solución es importante y que se puede evidenciar
usando recursos de ensayo error, diagramas,
problemas similares, haciendo una lista de la
información que tenemos, entre otras.
Cabe destacar que desde una revisión
documental dentro del ámbito educativo en la
incidencia del método de resolución de problemas
de George Pólya y el desarrollo del pensamiento
variacional en los estudiantes de la educación
básica se conocen estudios como el de Díaz-
Lozada & Díaz-Fuentes, (2018) que muestran la
importancia de la resolución de problemas en el
desarrollo del pensamiento matemático, en su
trabajo: los Métodos de Resolución de Problemas
y el Desarrollo del Pensamiento Matemático,
donde refieren: “El desarrollo de la capacidad para
la resolución de problemas matemáticos se
potencia en la medida en que se combina con el
estímulo de la capacidad para pensar en la
resolución de problema. Es necesario que el
estudiante desarrolle un modo de pensar que
articule las dimensiones del pensamiento
matemático, para ello, la instrucción heurística se
puede convertir en una excelente estrategia de
enseñanza” (p.11).
Esto hace que en los últimos años se haya
alcanzado cierto beneplácito en el papel de la
enseñanza de la Matemática en el desarrollo de la
competencia en resolución de problemas, por
Galvis-Rivera, Y. & González-Bautista, E. (2024). Incidencia del Enfoque Resolución de Problemas de George Pólya en el Desarrollo del Pensamiento Variacional. Revista
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George Pólya en el Desarrollo del Pensamiento
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encima de la transferencia de conocimientos
matemáticos, haciendo que la enseñanza, haga un
llamado a viva voz para reinventar y dinamizar la
práctica de aula. Aunque numerosos autores han
aportado métodos para resolver problemas, aún
son escasas las propuestas concretas que ayuden a
los docentes a utilizar los métodos de resolución
de problemas y los recursos de la heurística para
llevar a la práctica el tratamiento de la resolución
de problemas con el fin de estimular el desarrollo
del pensamiento matemático. Este artículo analiza
la incidencia del método de resolución de
problemas de George en el aprendizaje del
pensamiento variacional.
En cuanto a la ejecución del plan, como parte
del método de Pólya, se busca poner en marcha lo
anteriormente mencionado. Estas estrategias
sugieren que el estudiante ponga en práctica el
plan elaborado y compruebe cada uno de los
momentos diseñados para él, controlando cada
paso y comprobando que sean correctos o no. Es
por esto, que Pólya (1989) recalca que
“reconsiderar la solución, reexaminar el resultado
y el camino que los condujo a ella podría
consolidar sus conocimientos y desarrollar
aptitudes para resolver problemas” (p. 35).
Asimismo, al dar importancia a la visión
retrospectiva en cada uno de los detalles que
componen la situación propuesta y la revisión de
estrategia diseñada para tal solución incita a
investigar en sus relaciones.
El autor Polya (1965) señala que: “la
heurística moderna trata de comprender el método
que conduce a la solución de problemas, en
particular las operaciones mentales típicamente
útiles en este proceso” (p. 102) estos métodos
permiten al estudiante a incrementar el
conocimiento, a generar procesos investigativos
entorno al fenómeno planteado, a esquematizar las
estrategias, dicho de otro modo, a definir procesos
cognitivos y reflexivos útiles en la solución de
problemas. Mientras que, al examinar la Solución,
puede verificar el resultado y el razonamiento
implementado para dar solución a la situación.
Como se comenta en Barreriro et al. (2019), donde
el proceso de resolución no se evidencia en un
primer momento por el sujeto, teniendo en cuenta
que muchas situcaciones se presentan en contextos
extramatemáticos o intramatemáticos, tal como se
presentan en las preubas externas a las que se
enfrenta el estudiante de la zona rural, por ello,
Pólya indica que este proceso es indispensable
dado que posibilita la creación habilidades
posteriores para resolver problemas con
características similares.
Como lo cita Meneses-Espinal & Peñaloza
(2017), es muy importante, si se tiene en cuenta
que el estudiante tiene la posibilidad de revisar su
trabajo y asegurarse de no haber cometido algún
error; se puede orientar con preguntas como: ¿Es
tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo
establecido en el problema? ¿Puedes ver como
extender tu solución a un caso general? Si al
resolver los problemas los estudiantes emplean en
forma consiente y cuidadosa cada uno de los
anteriores pasos, aprenderán a diseñar y poner en
práctica estrategias que les permitan alcanzar el
éxito.
Se puede concluir, que desarrollar
paulatinamente un proceso para resolver
problemas, le permite al estudiante reconocer
claramente la situación propuesta, identificar los
datos que nos suministra el contexto de las
situaciones problemas, además de inferir otros que
se generan desde el uso de las heurísticas, y que no
debe existir un patrón de solución único; sin
embargo, algunos planteamientos pueden ser
referentes de solución, debido a la similitud en sus
características. Al igual que en la solución de
problemas es indispensable como último paso la
verificación, puesto que esta nos permite hacer una
regresión de los procesos, y concluir de forma
coherente ante la necesidad del planteamiento
propuesto.
En cuanto el desarrollo del pensamiento
Matemático y específicamente el pensamiento
variacional, visto como la dupla del pensamiento
numérico en la evaluación de pruebas de estado, y
que, dentro del currículo matemático, juega un
papel fundamental, teniendo en cuenta su
transversalidad en el conocimiento matemático,
porque brinda herramientas que se ajustan al
estudio de conocimientos numéricos como el
manejo de estructuras repetitivas.
Es claro que la transversalidad del
pensamiento variacional que involucra, de acuerdo
a Acosta et al. (2016), los elementos como la
estrategia, los argumentos y la situcacióncon con
el uso de sistemas numéricos representados en
estructuras de variación y cambio se observa el
cómo desde el planteamiento de una situación
problema estas relaciones se hacen comunes en
Galvis-Rivera, Y. & González-Bautista, E. (2024). Incidencia del Enfoque Resolución de Problemas de George Pólya en el Desarrollo del Pensamiento Variacional. Revista
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situaciones cotidianas, dado que existe una
variable, quien es la encargada de generar el
cambio o transforma los eventos involucrados en
los problemas. De esta forma, el estudiante se
aproxima a la noción de la función, como la de
dependencia funcional entre magnitudes variables,
ya que las funciones permiten analizar y modelar
distintos fenómenos y procesos no sólo en
problemas y situaciones del mundo de la vida
cotidiana, sino también de las ciencias naturales y
sociales y de las matemáticas mismas. (Ministerio
de Educación Nacional de Colombia, 2006)
Como lo dice Mesa (2009) La razón de
cambio involucra la variación de magnitudes que
es necesario medir y comparar. Es por ello, que la
gran parte de las actividades diseñadas en el aula
para los estudiantes, buscan desarrollar de forma
natural ecuaciones, ya que estos están asociados
con el uso de un enunciado verbal traduciéndolo
en una estructura matemática que busca satisfacer
la solución al planteamiento. Es así, como el
desarrollar situaciones problemas que estén en el
marco de situaciones de cambio, contribuyen a que
el estudiante desarrollo habilidades cognitivas y
sea más fácil asociar situaciones similares en otros
contextos.
De cara a futuros estudios en cuanto a la
resolución de problemas desde el desarrollo del
pensamiento variacional, se plantea la
implementación en la enseñanza de la matemática,
la resolución de problemas como un mecanismo
para desarrollar habilidades en los estudiantes de
tal modo que no se convierta en una competencia
específica en el área que se plasma en un plan de
área, sino que, por el contrario, sea la punta en la
lanza de la práctica pedagógica. Además de ello se
hace necesario desarrollar habilidades lectoras en
los estudiantes en todas las áreas del conocimiento
y hacer que la matemática se convierta no solo en
el manejo de estructuras numéricas y simbólicas,
sino que también sean parte de la comprensión,
interpretación y solución de los fenómenos
naturales, sociales y escolares. Para ello es
necesario que se enfoque la evaluación de la
matemática hacia la solución de problemas
matemáticos y disminuir la solución de
algoritmos.
Conclusiones
El desarrollo del pensamiento variacional en
la educación básica, remarca su importancia en el
abordaje inadecuado de este en el aula, ya que se
desconocen las potencialidades que pueden
brindar, no solamente en el referente del valor de
una incógnita, que a su vez es importante en la
resolución de problemas, sino también, porque es
trasversal a los demás conocimientos y permite
reconocer minuciosamente cada estructura
numérica, las características de las formas y de los
cuerpos, así como visibilizar el comportamiento de
fenómenos sociales para la toma de decisiones,
entre otras. Siendo este, esencial en el estudio de
la matemática en un mundo que constantemente
nos ofrece contextos y situaciones que varían,
donde se requiere del conocimiento y de la
habilidad para dar respuestas oportunas.
Este estudio, diseña una propuesta basada en
el método de George Pólya, ya que es uno de los
precursores en resolución de problemas y ofrece
cuatro momentos para la resolución, que, para los
niveles de la etapa de operaciones formales, en que
se encuentran los informantes, son capaces de usar
la lógica, y pueden desarrollar capacidades de
formular hipótesis, sacar conclusiones y resolver
problemas. Desde Pólya, comprender el plan,
concebir un plan, ejecutar un plan y verificar,
desarrollado desde las heurísticas, representa en
los estudiantes una forma de aprender desde el
descubrimiento, de lo que pueden encontrar, lo que
pueden diseñar o lo que pueden ejecutar desde su
conocimiento. Es aquí, como a la par, se propone
desarrollar habilidades usando patrones,
estableciendo la relación entre la información
suministrada o creando estructuras que para el
caso se convierten en estructuras algebraicas.
El estudio inicia con una prueba diagnóstica,
que arroja como resultados estudiantes que
desconocen los pasos mínimos para la solución de
problemas, que presentan dificultades en el
desarrollo de estructuras aditivas y se les dificulta
establecer el orden en el valor posicional de las
cantidades numéricas. Además, se observa que la
falta de hábitos lectores hace que el estudiante
omita información importante para la solución de
un problema. Es pertinente hacer
acompañamiento durante la implementación de la
propuesta, ya que así se monitorea la evolución o
involución de los informantes focalizados; el
fomentar acciones que permitan a los estudiantes
participar de forma activa y motivada por el
Galvis-Rivera, Y. & González-Bautista, E. (2024). Incidencia del Enfoque Resolución de Problemas de George Pólya en el Desarrollo del Pensamiento Variacional. Revista
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descubrimiento o por asertividad en su
intervención, desarrollando habilidades
heurísticas para que se involucre en el aprendizaje.
En este sentido, el método de resolución de
problemas de George Pólya, favorece el desarrollo
de habilidades en solución de problemas,
comprensión lectora, formulación de hipótesis,
además de ser dinamizador en el aprendizaje de
conocimiento matemático que no se rige por
estructuras estáticas, sino que permite explorar
otras formas de concebir o ver las matemáticas que
en nuestros días ofrecen contextos variantes, es por
ello que establecer nuevas relaciones, identificar la
variable que ocasiona el cambio o definir el patrón
que modela el sistema, permite generar un
referente dinámico para futuras situaciones
problema.
Agradecimiento
Expresar gratitud con la institución que
permite con su orientación y acompañamiento
seguir creyendo en la Educación como un
instrumento de Paz y Libertad, a la facultad de
Educación que brinda los espacios y garantiza
educación de calidad en este arduo camino que
recorremos para brindar lo mejor a nuestros niños,
niñas y jóvenes. Gracias Universidad de
Pamplona.
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